पूर्णांक और पूर्ण संख्याएँ - विस्तृत सिद्धांत 2025

 

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किन परीक्षाओं के लिए उपयोगी है AllIndiaGK?

AllIndiaGK खास तौर पर इन परीक्षाओं के लिए उपयोगी है:

• UPSC
• SSC
• Railway
• Banking
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निष्कर्ष:

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📘 पूर्णांक और पूर्ण संख्याएँ — विस्तृत सिद्धांत 

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🟢 1. संख्याएँ (Numbers) क्या होती हैं?

गणित की दुनिया में संख्याओं का बहुत बड़ा योगदान होता है। हम रोज़मर्रा की जिंदगी में किसी चीज़ की गिनती (counting), माप (measurement), लेन-देन, घटाव-बढ़ाव, आदि सभी काम संख्याओं के माध्यम से करते हैं।

संख्याएँ कई प्रकार की होती हैं:

• प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3, 4, …)

• पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, 3, …)

• पूर्णांक (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …)

• परिमेय संख्याएँ (3/4, -5/2, आदि)

• अपरिमेय संख्याएँ (π, √2 आदि)

इसमें से आज हम बात करेंगे:

1. पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers)

2. पूर्णांक (Integers)

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🔷 2. पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers) क्या होती हैं?

परिभाषा:
वे संख्याएँ जो 0 से शुरू होकर अनंत तक जाती हैं, और जिनमें कोई ऋणात्मक (Negative) संख्या नहीं होती, उन्हें पूर्ण संख्याएँ कहते हैं।

📌 उदाहरण:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...

✅ महत्वपूर्ण बातें:

• 0 भी एक पूर्ण संख्या है।

• पूर्ण संख्याओं में दशमलव (Decimal) और भिन्न (Fraction) शामिल नहीं होतीं।

• सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं, लेकिन सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक नहीं होतीं (क्योंकि 0 प्राकृतिक संख्या नहीं है)।

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🔶 3. पूर्णांक (Integers) क्या होते हैं?

परिभाषा:
वे संख्याएँ जिनमें ऋणात्मक संख्याएँ, शून्य (0) और धनात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं, उन्हें पूर्णांक (Integers) कहते हैं।

📌 उदाहरण:
..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

✅ महत्वपूर्ण बातें:

• पूर्णांक में तीन भाग होते हैं:
  ➤ ऋणात्मक पूर्णांक (Negative Integers): -1, -2, -3,...
  ➤ शून्य (Zero): 0
  ➤ धनात्मक पूर्णांक (Positive Integers): 1, 2, 3,...

• पूर्णांक में भी दशमलव और भिन्न नहीं होते।

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📊 4. पूर्णांक और पूर्ण संख्याओं में अंतर

🔢 विशेषता	पूर्ण संख्याएँ	पूर्णांक
प्रारंभ	0 से	... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...
ऋणात्मक संख्याएँ	नहीं	होती हैं
शून्य शामिल है?	हाँ	हाँ
उदाहरण	0, 1, 2, 3, ...	-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

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🔢 5. पूर्णांक और पूर्ण संख्याओं पर क्रियाएँ

➤ योग (Addition):

• पूर्ण संख्याएँ जोड़ने पर परिणाम हमेशा पूर्ण संख्या होगा।
  जैसे: 3 + 5 = 8

• पूर्णांक जोड़ने पर परिणाम पूर्णांक ही होगा।
  जैसे: (-3) + 5 = 2

➤ घटाव (Subtraction):

• पूर्ण संख्याओं का घटाव हमेशा पूर्ण संख्या नहीं देता।
  जैसे: 2 - 5 = -3 (जो पूर्णांक है, पर पूर्ण संख्या नहीं)

• पूर्णांकों का घटाव पूर्णांक ही रहता है।

➤ गुणा (Multiplication):

• पूर्ण संख्याओं या पूर्णांकों की गुणा करने पर उत्तर उसी समूह का होता है।
  जैसे: (-2) × (-3) = 6
  जैसे: 3 × 4 = 12

➤ भाग (Division):

• पूर्णांकों या पूर्ण संख्याओं का भाग हमेशा उसी समूह में नहीं रहता।
  जैसे: 5 ÷ 2 = 2.5 (यह पूर्णांक या पूर्ण संख्या नहीं है)

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⚙️ 6. पूर्णांक के नियम (Sign Rules)

क्रिया	संकेत	उत्तर का संकेत
+ और +	(+) + (+)	+
- और -	(-) + (-)	-
+ और -	(+) + (-)	बड़ा संकेत
- और +	(-) + (+)	बड़ा संकेत
× या ÷ (धन × धन)	(+) × (+)	+
× या ÷ (ऋण × ऋण)	(-) × (-)	+
× या ÷ (धन × ऋण)	(+) × (-)	-

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🌟 7. क्यों ज़रूरी हैं ये विषय?

• दैनिक जीवन में (उधारी, तापमान, लाभ-हानि) के लिए ऋणात्मक संख्याएँ जरूरी हैं।

• बैंकिंग, बजट, विज्ञान, और तकनीकी गणना में पूर्णांक और पूर्ण संख्याओं का अत्यंत उपयोग होता है।

• प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, MTS, रेलवे, बैंक) में इनके प्रश्न बहुत बार पूछे जाते हैं।

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🔚 निष्कर्ष (Conclusion)

पूर्णांक और पूर्ण संख्याएँ गणित के मूलभूत और अत्यंत उपयोगी विषय हैं।
यदि आपने यह समझ लिया कि:

• शून्य क्या है,

• ऋण और धन संख्याओं के बीच कैसा व्यवहार होता है,

• और इन पर कौन-कौन से नियम लागू होते हैं —
  तो आप इस अध्याय में पूरे अंक प्राप्त कर सकते हैं।