अगर आप Amin Patwari, SSC, या किसी भी प्रतियोगी परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, तो “द्विघातीय समीकरण” (Quadratic Equations) का यह 2025 का नया क्विज़ आपके लिए बेहद उपयोगी है। यहाँ दिए गए 70+ महत्वपूर्ण प्रश्नों के साथ उनके सटीक उत्तर और सरल व्याख्या आपको परीक्षा में उच्च अंक दिलाने में मदद करेंगे। हर प्रश्न इस तरह तैयार किया गया है कि आप अवधारणा (Concept) को समझ सकें और Confident होकर सवाल हल करें। यह क्विज़ रेखीय और द्विघातीय समीकरण के सभी मुख्य टॉपिक कवर करता है — जैसे मूलों का निर्धारण, गुणांक (Coefficients), विविक्त (Discriminant), तथा मूलों के गुणनफल और योग के प्रश्न। अभी क्विज़ शुरू करें और जानें कि आप परीक्षा के लिए कितने तैयार हैं!
📘 द्विघातीय समीकरण (Quadratic Equations) Quiz – भाग 1 (Q1–Q10)
Q1. द्विघातीय समीकरण का सामान्य रूप क्या होता है?
A) ax + b = 0
B) ax² + bx + c = 0
C) ax³ + bx² + c = 0
D) a²x + bx + c = 0
उत्तर: B) ax² + bx + c = 0
व्याख्या: द्विघातीय समीकरण वह होता है जिसमें चर (x) का उच्चतम घातांक 2 होता है।
Q2. ax² + bx + c = 0 का हल निकालने का सूत्र क्या है?
A) (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
B) (-b ± √(b² + 4ac)) / (2a)
C) (-a ± √(b² - 4ac)) / (2b)
D) (b ± √(a² - 4bc)) / (2a)
उत्तर: A) (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
व्याख्या: यह "Quadratic Formula" कहलाता है जिससे किसी भी द्विघातीय समीकरण का हल निकाला जा सकता है।
Q3. यदि b² - 4ac = 0 हो तो द्विघातीय समीकरण के मूल कैसे होंगे?
A) असमान
B) समान
C) काल्पनिक
D) कोई नहीं
उत्तर: B) समान
व्याख्या: जब b² - 4ac = 0 होता है तो दोनों मूल बराबर और वास्तविक होते हैं।
Q4. यदि b² - 4ac > 0 हो तो मूल कैसे होंगे?
A) समान
B) काल्पनिक
C) दो भिन्न वास्तविक मूल
D) कोई नहीं
उत्तर: C) दो भिन्न वास्तविक मूल
व्याख्या: क्योंकि विविक्तांक (Discriminant) धनात्मक होने पर दो अलग-अलग वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं।
Q5. यदि b² - 4ac < 0 हो तो मूल कैसे होंगे?
A) समान
B) वास्तविक नहीं, बल्कि काल्पनिक
C) समान और वास्तविक
D) कोई नहीं
उत्तर: B) वास्तविक नहीं, बल्कि काल्पनिक
व्याख्या: विविक्तांक ऋणात्मक होने पर मूल काल्पनिक होते हैं।
Q6. द्विघातीय समीकरण x² - 5x + 6 = 0 के मूल क्या हैं?
A) 2, 3
B) -2, -3
C) 5, 6
D) 1, 6
उत्तर: A) 2, 3
व्याख्या: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 ⇒ x = 2 या 3।
Q7. ax² + bx + c = 0 के मूलों का योग क्या होता है?
A) a/b
B) -b/a
C) b/a
D) -a/b
उत्तर: B) -b/a
व्याख्या: मूलों का योग = -b/a होता है। यह सूत्र गुणांक से निकाला जाता है।
Q8. ax² + bx + c = 0 के मूलों का गुणनफल क्या होता है?
A) c/a
B) -c/a
C) a/c
D) -a/c
उत्तर: A) c/a
व्याख्या: मूलों का गुणनफल = c/a होता है।
Q9. यदि किसी द्विघातीय समीकरण के मूल 4 और 5 हैं, तो उसका समीकरण क्या होगा?
A) x² - 9x + 20 = 0
B) x² + 9x + 20 = 0
C) x² - 4x + 5 = 0
D) x² - 10x + 20 = 0
उत्तर: A) x² - 9x + 20 = 0
व्याख्या: समीकरण का रूप = x² - (α + β)x + αβ = 0 ⇒ x² - 9x + 20 = 0।
Q10. यदि द्विघातीय समीकरण का एक मूल 2 है और दूसरा 3 है, तो उसका विविक्तांक क्या होगा?
A) 1
B) 0
C) 4
D) 25
उत्तर: D) 25
व्याख्या: x² - 5x + 6 = 0 ⇒ a = 1, b = -5, c = 6
विविक्तांक = b² - 4ac = 25 - 24 = 1 (Correction: Actually 1)
✅ सही उत्तर: A) 1
Q11. यदि समीकरण x² + 4x + 4 = 0 हो, तो उसके मूल क्या हैं?
A) -2, -2
B) 2, 2
C) 4, -4
D) 1, -1
उत्तर: A) -2, -2
व्याख्या: (x + 2)² = 0 ⇒ x = -2 (दो बार)।
Q12. यदि समीकरण x² + x + 1 = 0 है, तो उसके मूल कैसे होंगे?
A) समान
B) काल्पनिक
C) वास्तविक
D) अपरिभाषित
उत्तर: B) काल्पनिक
व्याख्या: b² - 4ac = 1 - 4 = -3 ⇒ विविक्तांक ऋणात्मक ⇒ मूल काल्पनिक।
Q13. यदि किसी समीकरण के मूल α और β हैं, तो उनका योग = ?
A) -b/a
B) b/a
C) a/b
D) c/a
उत्तर: A) -b/a
व्याख्या: यह द्विघातीय समीकरण का मूलभूत सूत्र है।
Q14. यदि किसी समीकरण के मूल α और β हैं, तो उनका गुणनफल = ?
A) -c/a
B) c/a
C) a/c
D) b/a
उत्तर: B) c/a
व्याख्या: मूलों का गुणनफल हमेशा c/a के बराबर होता है।
Q15. यदि समीकरण x² - 7x + 12 = 0 है, तो इसके मूल क्या होंगे?
A) 4 और 3
B) -3 और -4
C) 7 और 12
D) 2 और 5
उत्तर: A) 4 और 3
व्याख्या: (x - 3)(x - 4) = 0 ⇒ x = 3, 4।
Q16. यदि x² - 9 = 0, तो x का मान क्या होगा?
A) 9
B) ±3
C) 3
D) -9
उत्तर: B) ±3
व्याख्या: x² = 9 ⇒ x = ±3।
Q17. यदि समीकरण 2x² - 8x + 6 = 0 है, तो a, b, c के मान क्रमशः क्या हैं?
A) 2, -8, 6
B) 1, 8, -6
C) 2, 6, 8
D) -2, 8, -6
उत्तर: A) 2, -8, 6
व्याख्या: ax² + bx + c = 0 से तुलना करें।
Q18. यदि किसी द्विघातीय समीकरण के मूल α, β हों तो नया समीकरण जिसके मूल 2α, 2β हों, क्या होगा?
A) ax² + bx + c = 0
B) ax² + 2bx + 4c = 0
C) a(x/2)² + b(x/2) + c = 0
D) ax² + 4bx + 4c = 0
उत्तर: D) ax² + 4bx + 4c = 0
व्याख्या: नया समीकरण प्राप्त करने के लिए x को x/2 से बदलते हैं।
Q19. यदि समीकरण x² - 10x + 25 = 0 हो, तो मूल क्या हैं?
A) 5, 5
B) -5, -5
C) 10, 25
D) कोई नहीं
उत्तर: A) 5, 5
व्याख्या: (x - 5)² = 0 ⇒ x = 5 (दो बार)।
Q20. द्विघातीय समीकरण के मूलों की प्रकृति किस पर निर्भर करती है?
A) a
B) b
C) c
D) b² - 4ac
उत्तर: D) b² - 4ac
व्याख्या: विविक्तांक (Discriminant) ही मूलों की प्रकृति तय करता है।
Q21. यदि समीकरण x² + 6x + 8 = 0 है, तो इसके मूल क्या होंगे?
A) -2, -4
B) 2, 4
C) 4, -2
D) 2, -4
उत्तर: A) -2, -4
व्याख्या: (x + 2)(x + 4) = 0 ⇒ x = -2, -4।
Q22. यदि ax² + bx + c = 0 के मूल समान हों, तो शर्त क्या है?
A) b² > 4ac
B) b² = 4ac
C) b² < 4ac
D) b² = 0
उत्तर: B) b² = 4ac
व्याख्या: विविक्तांक शून्य होने पर मूल समान होते हैं।
Q23. यदि समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं, तो उसे क्या कहते हैं?
A) Imaginary equation
B) Perfect square equation
C) Linear equation
D) Rational equation
उत्तर: B) Perfect square equation
व्याख्या: जैसे (x + 2)² = 0 में दोनों मूल समान होते हैं।
Q24. x² - 4x + 3 = 0 के मूलों का योग कितना होगा?
A) 3
B) 4
C) -4
D) 1
उत्तर: B) 4
व्याख्या: मूलों का योग = -b/a = -(-4)/1 = 4।
Q25. x² - 4x + 3 = 0 के मूलों का गुणनफल कितना होगा?
A) 3
B) -3
C) 4
D) -4
उत्तर: A) 3
व्याख्या: गुणनफल = c/a = 3/1 = 3।
Q26. यदि किसी समीकरण का एक मूल -3 है और दूसरा मूल 2 है, तो समीकरण क्या होगा?
A) x² + x - 6 = 0
B) x² - x - 6 = 0
C) x² + x + 6 = 0
D) x² - x + 6 = 0
उत्तर: A) x² + x - 6 = 0
व्याख्या: (x - 2)(x + 3) = 0 ⇒ x² + x - 6 = 0।
Q27. यदि मूलों का योग 5 और गुणनफल 6 है, तो समीकरण क्या होगा?
A) x² - 5x + 6 = 0
B) x² + 5x + 6 = 0
C) x² + 5x - 6 = 0
D) x² - 5x - 6 = 0
उत्तर: A) x² - 5x + 6 = 0
व्याख्या: समीकरण = x² - (योग)x + गुणनफल।
Q28. यदि समीकरण के मूल ½ और ⅓ हैं, तो समीकरण क्या होगा?
A) 6x² - 5x + 1 = 0
B) 3x² - 5x + 1 = 0
C) 2x² - 5x + 3 = 0
D) 6x² + 5x + 1 = 0
उत्तर: A) 6x² - 5x + 1 = 0
व्याख्या: योग = 5/6, गुणनफल = 1/6 ⇒ 6x² - 5x + 1 = 0।
Q29. यदि a = 1, b = 2, c = 5 हो, तो विविक्तांक क्या होगा?
A) -16
B) 16
C) 0
D) 4
उत्तर: A) -16
व्याख्या: b² - 4ac = 4 - 20 = -16।
Q30. ऊपर वाले प्रश्न के आधार पर मूलों की प्रकृति क्या होगी?
A) वास्तविक
B) समान
C) काल्पनिक
D) पूर्णांक
उत्तर: C) काल्पनिक
व्याख्या: विविक्तांक ऋणात्मक ⇒ मूल काल्पनिक।
Q31. यदि समीकरण x² - 3x + 2 = 0 हो, तो इसके मूल क्या होंगे?
A) 1, 2
B) -1, -2
C) 3, 2
D) -3, -2
उत्तर: A) 1, 2
व्याख्या: (x - 1)(x - 2) = 0 ⇒ x = 1, 2।
Q32. यदि समीकरण 3x² - 12x + 12 = 0 है, तो इसके मूल समान हैं या भिन्न?
A) समान
B) भिन्न
C) काल्पनिक
D) शून्य
उत्तर: A) समान
व्याख्या: b² - 4ac = 144 - 144 = 0 ⇒ समान मूल।
Q33. यदि समीकरण x² + 2x + 2 = 0 है, तो मूल कैसे होंगे?
A) वास्तविक
B) काल्पनिक
C) समान
D) धनात्मक
उत्तर: B) काल्पनिक
व्याख्या: b² - 4ac = 4 - 8 = -4 ⇒ विविक्तांक ऋणात्मक।
Q34. यदि समीकरण के मूल α और β हों, तो नए मूल (1/α, 1/β) वाले समीकरण का रूप क्या होगा?
A) ax² + bx + c = 0
B) cx² + bx + a = 0
C) bx² + ax + c = 0
D) ax² + cx + b = 0
उत्तर: B) cx² + bx + a = 0
व्याख्या: जब मूलों को उल्टा किया जाता है तो गुणांक a और c आपस में बदल जाते हैं।
Q35. यदि किसी द्विघातीय समीकरण के मूल 3 और 5 हैं, तो उसका समीकरण क्या होगा?
A) x² - 8x + 15 = 0
B) x² + 8x + 15 = 0
C) x² - 2x + 15 = 0
D) x² + 2x - 15 = 0
उत्तर: A) x² - 8x + 15 = 0
व्याख्या: योग = 8, गुणनफल = 15 ⇒ x² - 8x + 15 = 0।
Q36. यदि x² + px + q = 0 के मूल समान हैं, तो p² = ?
A) 4q
B) q²
C) 2q
D) q/2
उत्तर: A) 4q
व्याख्या: b² - 4ac = 0 ⇒ p² - 4q = 0 ⇒ p² = 4q।
Q37. यदि समीकरण 2x² - 4x + 2 = 0 है, तो मूल क्या होंगे?
A) 1, 1
B) 2, 2
C) -1, -1
D) 0, 2
उत्तर: A) 1, 1
व्याख्या: विविक्तांक = 16 - 16 = 0 ⇒ समान मूल x = 1।
Q38. यदि समीकरण 5x² + 3x + 2 = 0 हो, तो विविक्तांक क्या है?
A) -31
B) 31
C) 1
D) 0
उत्तर: A) -31
व्याख्या: b² - 4ac = 9 - 40 = -31 ⇒ काल्पनिक मूल।
Q39. द्विघातीय समीकरण x² - 2x - 8 = 0 के मूल क्या हैं?
A) 4, -2
B) -4, 2
C) 2, 4
D) -2, -4
उत्तर: A) 4, -2
व्याख्या: (x - 4)(x + 2) = 0 ⇒ x = 4, -2।
Q40. यदि मूलों का योग 7 और गुणनफल 10 है, तो समीकरण क्या होगा?
A) x² - 7x + 10 = 0
B) x² + 7x + 10 = 0
C) x² - 10x + 7 = 0
D) x² + 10x - 7 = 0
उत्तर: A) x² - 7x + 10 = 0
व्याख्या: x² - (योग)x + गुणनफल = 0।
Q41. यदि समीकरण के मूल 1/2 और 1/3 हैं, तो समीकरण क्या होगा?
A) 6x² - 5x + 1 = 0
B) 5x² - 6x + 1 = 0
C) 3x² - 6x + 1 = 0
D) 6x² + 5x + 1 = 0
उत्तर: A) 6x² - 5x + 1 = 0
व्याख्या: योग = 5/6, गुणनफल = 1/6 ⇒ 6x² - 5x + 1 = 0।
Q42. यदि x² - kx + 16 = 0 के समान मूल हों, तो k का मान क्या होगा?
A) 8
B) 4
C) -8
D) 16
उत्तर: A) 8
व्याख्या: b² - 4ac = 0 ⇒ k² - 64 = 0 ⇒ k = ±8।
Q43. यदि समीकरण 4x² - 12x + 9 = 0 है, तो इसके मूल क्या होंगे?
A) 3/2, 3/2
B) 2, 2
C) 3, 3
D) 1, 3
उत्तर: A) 3/2, 3/2
व्याख्या: विविक्तांक = 0 ⇒ समान मूल x = 3/2।
Q44. यदि समीकरण के मूल α, β हैं, तो α + β = 5 और αβ = 6 होने पर समीकरण?
A) x² - 5x + 6 = 0
B) x² + 5x + 6 = 0
C) x² + 5x - 6 = 0
D) x² - 5x - 6 = 0
उत्तर: A) x² - 5x + 6 = 0
व्याख्या: x² - (α + β)x + αβ = 0।
Q45. x² + 5x + 6 = 0 के मूल क्या हैं?
A) -2, -3
B) 2, 3
C) 1, -6
D) -5, 6
उत्तर: A) -2, -3
व्याख्या: (x + 2)(x + 3) = 0 ⇒ x = -2, -3।
Q46. यदि समीकरण x² - 4x + 4 = 0 है, तो मूलों का योग = ?
A) 4
B) -4
C) 8
D) 2
उत्तर: A) 4
व्याख्या: योग = -b/a = -(-4)/1 = 4।
Q47. x² - 9x + 14 = 0 के मूल क्या होंगे?
A) 7, 2
B) 9, 14
C) -7, -2
D) 7, -2
उत्तर: A) 7, 2
व्याख्या: (x - 7)(x - 2) = 0 ⇒ x = 7, 2।
Q48. यदि समीकरण 3x² + 5x - 2 = 0 है, तो विविक्तांक क्या होगा?
A) 49
B) 25
C) 61
D) 1
उत्तर: A) 49
व्याख्या: b² - 4ac = 25 - (4×3×-2) = 25 + 24 = 49।
Q49. ऊपर वाले प्रश्न में मूलों की प्रकृति क्या होगी?
A) वास्तविक और असमान
B) समान
C) काल्पनिक
D) समान और वास्तविक
उत्तर: A) वास्तविक और असमान
व्याख्या: विविक्तांक धनात्मक है।
Q50. यदि समीकरण 2x² - 3x + 1 = 0 है, तो मूल क्या होंगे?
A) 1, ½
B) -1, -½
C) 2, 3
D) 1, -1
उत्तर: A) 1, ½
व्याख्या: (2x - 1)(x - 1) = 0 ⇒ x = ½, 1।
Q51. x² + 10x + 25 = 0 के मूल क्या होंगे?
A) -5, -5
B) 5, 5
C) -10, -25
D) 10, 25
उत्तर: A) -5, -5
व्याख्या: (x + 5)² = 0 ⇒ समान मूल x = -5।
Q52. यदि समीकरण 4x² - 4x + 1 = 0 है, तो विविक्तांक क्या होगा?
A) 0
B) 4
C) 8
D) -4
उत्तर: A) 0
व्याख्या: b² - 4ac = 16 - 16 = 0 ⇒ समान मूल।
Q53. यदि किसी समीकरण का विविक्तांक ऋणात्मक है, तो मूल?
A) वास्तविक नहीं होंगे
B) समान होंगे
C) पूर्णांक होंगे
D) वास्तविक होंगे
उत्तर: A) वास्तविक नहीं होंगे
व्याख्या: विविक्तांक < 0 ⇒ काल्पनिक मूल।
Q54. यदि समीकरण 2x² + 7x + 3 = 0 है, तो विविक्तांक क्या होगा?
A) 25
B) 13
C) 37
D) 49
उत्तर: A) 25
व्याख्या: b² - 4ac = 49 - 24 = 25।
Q55. समीकरण 2x² + 7x + 3 = 0 के मूल क्या होंगे?
A) -1.5, -1
B) -3, -0.5
C) -3, -0.5
D) 1, 3
उत्तर: C) -3, -0.5
व्याख्या: (-7 ± √25)/4 = (-7 ± 5)/4 ⇒ -3, -½।
Q56. यदि समीकरण x² - 6x + 9 = 0 है, तो मूल क्या होंगे?
A) 3, 3
B) -3, -3
C) 9, -9
D) 0, 9
उत्तर: A) 3, 3
व्याख्या: (x - 3)² = 0 ⇒ समान मूल।
Q57. यदि a = 1, b = 0, c = -4 हो तो समीकरण?
A) x² - 4 = 0
B) x² + 4 = 0
C) x² - 2x + 4 = 0
D) x² + 2x - 4 = 0
उत्तर: A) x² - 4 = 0
व्याख्या: ax² + bx + c = 0 ⇒ x² - 4 = 0 ⇒ x = ±2।
Q58. समीकरण x² - 2x + 1 = 0 के मूल क्या हैं?
A) 1, 1
B) -1, -1
C) 2, 2
D) 0, 0
उत्तर: A) 1, 1
व्याख्या: (x - 1)² = 0 ⇒ समान मूल।
Q59. यदि मूलों का योग 9 और गुणनफल 20 है, तो समीकरण क्या होगा?
A) x² - 9x + 20 = 0
B) x² + 9x + 20 = 0
C) x² - 20x + 9 = 0
D) x² + 20x - 9 = 0
उत्तर: A) x² - 9x + 20 = 0
व्याख्या: x² - (योग)x + गुणनफल = 0।
Q60. यदि किसी समीकरण के समान मूल हैं, तो विविक्तांक का मान क्या होगा?
A) 0
B) >0
C) <0
D) 1
उत्तर: A) 0
व्याख्या: समान मूल ⇨ b² - 4ac = 0।
Q61. यदि समीकरण 2x² - x - 1 = 0 है, तो विविक्तांक = ?
A) 9
B) 1
C) 8
D) 5
उत्तर: A) 9
व्याख्या: b² - 4ac = 1 - (4×2×-1) = 1 + 8 = 9।
Q62. ऊपर वाले प्रश्न के मूल क्या होंगे?
A) 1, -½
B) 1, ½
C) -1, ½
D) -1, 1
उत्तर: A) 1, -½
व्याख्या: (-(-1) ± √9)/(4) ⇒ (1 ± 3)/4 ⇒ 1, -½।
Q63. यदि समीकरण x² + 4x + 5 = 0 है, तो मूल कैसे होंगे?
A) काल्पनिक
B) समान
C) वास्तविक
D) शून्य
उत्तर: A) काल्पनिक
व्याख्या: b² - 4ac = 16 - 20 = -4।
Q64. यदि समीकरण के मूलों का गुणनफल c/a है, तो c = ?
A) a × (αβ)
B) a/β
C) b × (α)
D) αβ/a
उत्तर: A) a × (αβ)
व्याख्या: c = a × (मूलों का गुणनफल)।
Q65. यदि मूलों का योग -7 और गुणनफल 10 है, तो समीकरण क्या होगा?
A) x² + 7x + 10 = 0
B) x² - 7x + 10 = 0
C) x² + 7x - 10 = 0
D) x² - 10x + 7 = 0
उत्तर: A) x² + 7x + 10 = 0
व्याख्या: x² - (योग)x + गुणनफल ⇒ x² + 7x + 10 = 0।
Q66. x² - 11x + 28 = 0 के मूल क्या होंगे?
A) 7, 4
B) -7, -4
C) 11, 28
D) 4, -7
उत्तर: A) 7, 4
व्याख्या: (x - 7)(x - 4) = 0 ⇒ x = 7, 4।
Q67. x² - 8x + 16 = 0 के मूल क्या हैं?
A) 4, 4
B) -4, -4
C) 8, 16
D) 2, 8
उत्तर: A) 4, 4
व्याख्या: (x - 4)² = 0 ⇒ समान मूल।
Q68. यदि समीकरण 3x² + 2x + 4 = 0 हो, तो विविक्तांक क्या होगा?
A) -44
B) 44
C) 0
D) -8
उत्तर: D) -8
व्याख्या: b² - 4ac = 4 - 48 = -44 (Correction: -44) ✅
Q69. ऊपर वाले प्रश्न के मूल कैसे होंगे?
A) काल्पनिक
B) वास्तविक
C) समान
D) भिन्न
उत्तर: A) काल्पनिक
व्याख्या: विविक्तांक ऋणात्मक ⇒ काल्पनिक मूल।
Q70. यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 हो और b² - 4ac > 0 हो, तो समीकरण को क्या कहा जाएगा?
A) द्विघातीय समीकरण के असमान वास्तविक मूल
B) समान मूल वाला समीकरण
C) काल्पनिक मूल वाला समीकरण
D) रैखिक समीकरण
उत्तर: A) द्विघातीय समीकरण के असमान वास्तविक मूल
व्याख्या: क्योंकि विविक्तांक धनात्मक है ⇒ दो अलग-अलग वास्तविक मूल।
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