क्षेत्रफल और परिमाप (Area & Perimeter), रेखाएँ और कोण (Lines & Angles)

 

क्षेत्रफल और परिमाप (Area & Perimeter)

🔹 परिभाषा:

क्षेत्रफल किसी आकृति द्वारा घेरे गए सतह के भाग को दर्शाता है। यह दर्शाता है कि कोई आकृति कितनी जगह घेरती है। इसे वर्ग इकाइयों (जैसे cm², m²) में मापा जाता है।

परिमाप किसी आकृति की बाहरी सीमाओं की कुल लंबाई को कहते हैं। यह दर्शाता है कि आकृति के चारों ओर कितना लम्बा तार, रस्सी या सीमा बनेगी। इसे लंबाई की इकाइयों (जैसे cm, m) में मापा जाता है।

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🔹 प्रमुख आकृतियाँ और उनके सूत्र

आकृति	क्षेत्रफल (Area)	परिमाप (Perimeter)
वर्ग (Square)	भुजा × भुजा = $a^2$	4 × भुजा = $4a$
आयत (Rectangle)	लंबाई × चौड़ाई = $l × b$	2 × (l + b)
त्रिभुज (Triangle)	$\frac{1}{2} × \text{आधार} × \text{ऊँचाई}$	तीनों भुजाओं का योग
वृत्त (Circle)	$\pi r^2$	$2\pi r$

नोट: π (पाई) का मान लगभग 3.14 होता है।

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🔹 उदाहरण (Examples):

उदाहरण 1:
एक वर्ग की भुजा 6 cm है।
👉 क्षेत्रफल = $6 × 6 = 36$ cm²
👉 परिमाप = $4 × 6 = 24$ cm

उदाहरण 2:
एक आयत की लंबाई 8 cm और चौड़ाई 5 cm है।
👉 क्षेत्रफल = $8 × 5 = 40$ cm²
👉 परिमाप = $2 × (8 + 5) = 26$ cm

उदाहरण 3:
एक त्रिभुज का आधार 10 cm और ऊँचाई 4 cm है।
👉 क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$ cm²

उदाहरण 4:
एक वृत्त की त्रिज्या 7 cm है।
👉 क्षेत्रफल = $\pi × 7^2 = 3.14 × 49 = 153.86$ cm²
👉 परिमाप = $2 × 3.14 × 7 = 43.96$ cm

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🔹 अनुप्रयोग (Applications):

• वास्तुकला और इंजीनियरिंग में ज़मीन की माप

• बागवानी में घेरा लगाने के लिए रस्सी की लंबाई

• कपड़े के क्षेत्रफल की गणना

• पानी के टैंक की सतह मापने के लिए

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रेखाएँ और कोण (Lines and Angles)

🔹 रेखाएँ (Lines):

प्रकार	विवरण
रेखा (Line)	एक सीधी रेखा जो दोनों ओर अनंत तक फैली होती है।
रेखाखंड (Line Segment)	दो निश्चित बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा।
किरण (Ray)	एक बिंदु से शुरू होकर एक दिशा में अनंत तक जाती है।
समांतर रेखाएँ (Parallel Lines)	दो रेखाएँ जो कभी नहीं मिलतीं और हमेशा समान दूरी पर रहती हैं।
प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines)	दो रेखाएँ जो एक बिंदु पर मिलती हैं।

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🔹 कोण (Angles):

कोण दो किरणों के बीच का झुकाव होता है, जो एक ही बिंदु से निकलती हैं।

कोण का प्रकार	माप	उदाहरण
न्यून कोण (Acute Angle)	0° से कम < 90°	45°
समकोण (Right Angle)	= 90°	L आकार
अधिक कोण (Obtuse Angle)	90° से अधिक परंतु < 180°	120°
सीधा कोण (Straight Angle)	= 180°	सीधी रेखा
पूर्ण कोण (Full Angle)	= 360°	पूरा चक्र

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🔹 कोणों के नाम और संबंध

• समकोणीय त्रिभुज (Right-angled Triangle): जिसमें एक कोण 90° होता है।

• पूरक कोण (Complementary Angles): दो कोण जिनका योग 90° हो।

• पूरक कोण (Supplementary Angles): दो कोण जिनका योग 180° हो।

• समकोणीय रेखाएँ (Perpendicular Lines): जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को 90° पर काटें।

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🔹 उदाहरण (Examples):

उदाहरण 1:
एक कोण 60° है। वह कौन-सा कोण कहलाएगा?
👉 उत्तर: न्यून कोण (Acute Angle)

उदाहरण 2:
दो कोण 110° और 70° हैं।
👉 योग = $110 + 70 = 180°$,
इसलिए ये दोनों पूरक कोण (Supplementary Angles) हैं।

उदाहरण 3:
यदि एक रेखा AB दूसरी रेखा CD को 90° पर काटती है,
तो वे समकोणीय रेखाएँ (Perpendicular Lines) कहलाएँगी।

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🔹 अनुप्रयोग (Applications):

• स्थापत्य कला (Architecture) में दीवारों का निर्माण

• घड़ियों में समय को कोण के रूप में मापना

• अभियांत्रिकी (Engineering) में मापन और डिज़ाइन

• डिजिटल ग्राफिक्स और गेम डेवेलपमेंट में कोणों की गणना

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निष्कर्ष (Conclusion):

• क्षेत्रफल और परिमाप गणित की ऐसी मूलभूत अवधारणाएँ हैं जो हमें वास्तविक जीवन में जमीन मापने, वस्त्र की लंबाई तय करने और अन्य ढेरों कामों में मदद करती हैं।

• रेखाएँ और कोण ज्यामिति (Geometry) के आधार हैं। इनके बिना कोणीय मापन, निर्माण कार्य, ड्राइंग, डिज़ाइन या दिशा निर्धारण अधूरा है।

प्रश्न 1:

एक आयताकार स्विमिंग पूल की लंबाई 20 मीटर और चौड़ाई 12 मीटर है। इसके चारों ओर एक समान चौड़ाई की पगडंडी बनाई जाती है जिससे पूल का कुल क्षेत्रफल 336 मी² होता है। पगडंडी की चौड़ाई क्या है?
A) 2 m
B) 3 m
C) 4 m
D) 5 m

उदाहरण समाधान:
पूल + पगडंडी का आकार: (20 + 2x) × (12 + 2x) = 336
(20 + 2x)(12 + 2x) = 336
240 + 40x + 24x + 4x² = 336 ⟹ 4x² + 64x + 240 = 336 ⟹ 4x² + 64x – 96 = 0 ⟹ x² + 16x – 24 = 0
x = [–16 ± √(256 + 96)]/2 = [–16 ± √352]/2 ≈ [–16 ± 18.78]/2
सकारात्मक समाधान ≈ (2.78)/2 ≈ 1.39 – यह ज़्यादा नहीं, सही विकल्प समीकरण की सही जाँच से होगा: यदि x = 2 → (24 × 16) = 384; x = 3 → (26 × 18) = 468; x = 1 → (22 × 14) = 308; इनमें से कोई नहीं। सही अंक लगभग 1.4 m; पर विकल्पों में सबसे नज़दीकी 2 m है।
उत्तर: A) 2 m

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प्रश्न 2:

एक वृत्ताकार पार्क में 10 मीटर त्रिज्या का एक फव्वारा है। पार्क के उस हिस्से का क्षेत्रफल (वृत्तीय चक्रिका का क्षेत्रफल) कितना है जो 90° क्षेत्र को कवर करता है? (π = 3.14)
A) 78.5 m²
B) 157 m²
C) 31.4 m²
D) 62.8 m²

उदाहरण समाधान:
पूर्ण वृत्त क्षेत्र = πr² = 3.14 × 100 = 314 m²
90° = 1/4 चक्र, अतः क्षेत्रफल = 314 / 4 = 78.5 m²
उत्तर: A) 78.5 m²

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प्रश्न 3:

त्रिभुज ABC में ∠A = 90°, AB = 6 cm, AC = 8 cm है। BC की लंबाई और त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) BC = 10 cm, क्षेत्रफल = 24 cm²
B) BC = 14 cm, क्षेत्रफल = 48 cm²
C) BC = 10 cm, क्षेत्रफल = 12 cm²
D) BC = 8 cm, क्षेत्रफल = 24 cm²

उदाहरण समाधान:
पायथागोरस प्रमेय: BC² = AB² + AC² = 36 + 64 = 100 ⟹ BC = 10 cm
क्षेत्रफल = ½ × AB × AC = ½ × 6 × 8 = 24 cm²
उत्तर: A) BC = 10 cm, क्षेत्रफल = 24 cm²

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प्रश्न 4:

दो समांतर रेखाएँ L और M के बीच दूरी 5 cm है। L रेखा पर एक कोण 60° बनाया गया है। यदि उस कोण की किरण M से 90° पर कटती है, तो है रेखाएँ L और M क्रमशः किस प्रकार की होंगी?
A) उत्तर रेखाएँ (Perpendicular)
B) समकोणीय लेकिन समानांतर नहीं
C) कोणीय लेकिन विकर्ण (Oblique)
D) सम्मिलित और असमांतर

उदाहरण समाधान:
एक रेखा L पर 60° कोण बनता है; उसकी किरण M से 90° पर कटती है → यह दर्शाता है कि किरण M के प्रति लम्बवत (Perpendicular) है। लेकिन L और M एक-दूसरे से 60° नहीं बनाते, अतः वे पारस्परिक नहीं बल्कि फिर भी समांतर हैं।
उत्तर: A) उत्तर रेखाएँ

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प्रश्न 5:

एक L-आकार का आकृति बनाया गया है जिसमें एक आयताकार हिस्सा 10 cm × 6 cm तथा एक 4 cm × 4 cm वर्ग को एक कोने से हटाकर बनाया गया है। इस आकृति का परिमाप क्या होगा?
A) 36 cm
B) 40 cm
C) 38 cm
D) 34 cm

उदाहरण समाधान:
आकृति के किनारों पर चलें: 10 + 6 + 4 + 4 + 6 + 4 = 34 cm
(10 + 6 + 4 + 4 + 6 + 4 = 34)
उत्तर: D) 34 cm

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प्रश्न 6:

एक आयताकार बगीचे में चार कोनों पर 2 m त्रिज्या के चार चौथाई वृत्त बनाए गए हैं। यदि बगीचे की लंबाई 20 m और चौड़ाई 10 m है, तो उस क्षेत्रफल का कौन‑सा विकल्प सही है जो बगीचे में लेकिन चौथाई वृत्तों के बाहर है?
A) 200 – 4π m²
B) 200 – π m²
C) 200 – 25π m²
D) 200 – 16π m²

उदाहरण समाधान:
बगीचे का क्षेत्रफल = 20 × 10 = 200 m²
चार चौथाई वृत्त मिलकर एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं, जिसका त्रिज्या 2 m → क्षेत्रफल = π × 2² = 4π
बाकी क्षेत्र = 200 – 4π m²
उत्तर: A) 200 – 4π m²

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 Question 7

एक 90 मीटर × 40 मीटर के आयताकार बगीचे के चारों ओर 5 मीटर चौड़ी पगडंडी बनाई गई है। पगडंडी का क्षेत्रफल कितना है?
A) 1,070 m²
B) 1,150 m²
C) 1,200 m²
D) 1,080 m²

उदाहरण समाधान:
कुल आकार = (90 + 2×5) × (40 + 2×5) = 100 × 50 = 5,000 m²
बगीचे का क्षेत्रफल = 90 × 40 = 3,600 m²
पगडंडी का क्षेत्रफल = 5,000 – 3,600 = 1,400 m²
उत्तर: कोई विकल्प मेल नहीं खाता, लेकिन नजदीकी है—कोई सही विकल्प नहीं!**

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Question 8

एक वृत्त का क्षेत्रफल 314 cm² है। यदि π = 3.14, तो उसकी त्रिज्या कितनी होगी?
A) 10 cm
B) 8 cm
C) 7 cm
D) 6 cm

उदाहरण समाधान:
πr² = 314 → r² = 100 → r = 10
उत्तर: A) 10 cm

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Question 9

एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण 90°, दूसरे कोण 30° है। यदि कर्ण 10 cm है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 25 cm²
B) 43.3 cm²
C) 50 cm²
D) 86.6 cm²

उदाहरण समाधान:
30°‑60°‑90° त्रिभुज: कर्ण √3 गुना लंबा पक्ष; यदि कर्ण = 10, तो छोटा भुजा = 5, लंबी भुजा = 5√3
क्षेत्रफल = ½·5·(5√3) ≈ ½·25√3 ≈ 21.65 √3 ≈ 37.5? विकल्प में नहीं—निकटतम B) 43.3
उत्तर: B) 43.3 cm² (निकटतम)

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Question 10

दो समांतर रेखाएँ P और Q के बीच की दूरी 8 cm है। एक रेखा R, P से 60° कोण बनाते हुए Q को 90° पर काटती है। R रेखा Q के प्रति कैसी होगी?
A) समांतर
B) लम्बवत (Perpendicular)
C) कोणीय
D) असमांतर

उदाहरण समाधान:
R रेखा Q को 90° पर काटती है → वे लम्बवत हैं।
उत्तर: B) लम्बवत (Perpendicular)

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Question 11

एक वर्ग का एक कोण 90° होता है और दूसरी कोण 90° (निश्चित)। क्या संबंधित रेखाएँ समकोणीय (perpendicular) होंगी?
A) हाँ
B) नहीं
C) तभी जब वह वर्ग कोना केंद्र हो
D) संपर्क नहीं है

उदाहरण समाधान:
वर्ग के सभी आंतरिक कोण 90° होते हैं, अतः योग है कि संबद्ध रेखाएँ लम्बवत होती हैं।
उत्तर: A) हाँ

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Question 12

एक आयत की लंबाई = चौड़ाई + 4 cm, तथा इसका परिमाप = 36 cm है। चौड़ाई क्या होगी?
A) 7 cm
B) 8 cm
C) 9 cm
D) 10 cm

उदाहरण समाधान:
2(l + b) = 36 → l + b = 18
l = b + 4 → (b + 4) + b = 18 → 2b = 14 → b = 7
उत्तर: A) 7 cm

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Question 13

एक लम्बवत त्रिभुज में आधार = 12 cm और क्षेत्रफल = 54 cm² है। ऊँचाई क्या होगी?
A) 6 cm
B) 9 cm
C) 8 cm
D) 7 cm

उदाहरण समाधान:
½ × base × height = 54 → height = (54 × 2)/12 = 9
उत्तर: B) 9 cm

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Question 14

एक वृत्त की त्रिज्या 7 cm है। उस वृत्त की परिधि (circumference) क्या होगी?
A) 44 cm
B) 22 cm
C) 66 cm
D) 88 cm

उदाहरण समाधान:
C = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 cm  
उत्तर: A) 44 cm

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Question 15

एक आयत का क्षेत्रफल 150 m² है और चौड़ाई 10 m है। लंबाई क्या होगी?
A) 10 m
B) 15 m
C) 20 m
D) 25 m

उदाहरण समाधान:
Area = l × b = 150 → l = 150/10 = 15 m  
उत्तर: B) 15 m

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Question 16

एक आयताकार जमीन की लंबाई 200 m, चौड़ाई 125 m है। यदि प्रति 100 वर्ग फुट टाइल लगाने का खर्च ₹50 है, तो लागत कितनी लगेगी?
A) ₹13,000
B) ₹13,500
C) ₹14,000
D) ₹12,500

उदाहरण समाधान:
Area = 200 × 125 = 25,000 m² ≈ 269,100 ft² (1 m² ≈ 10.76 ft²) → 2691 × ₹50 = ₹1,34,550 (~ ₹134,550)
कोई विकल्प मेल नहीं खाता।

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Question 17

एक वर्ग का परिमाप = 48 cm है। उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 144 cm²
B) 576 cm²
C) 256 cm²
D) 192 cm²

उदाहरण समाधान:
Side = 48/4 = 12 cm → Area = 12² = 144 cm²  
उत्तर: A) 144 cm²

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Question 18

एक त्रिभुज की भुजाएँ 5, 12, 13 cm हैं। उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 30 cm²
B) 60 cm²
C) 65 cm²
D) 78 cm²

उदाहरण समाधान:
这是 एक right triangle (5,12,13). Área = ½ × 5 × 12 = 30 cm²
उत्तर: A) 30 cm²

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Question 19

एक वर्ग की भुजा 15 cm है। उसका परिमाप क्या होगा?
A) 60 cm
B) 45 cm
C) 30 cm
D) 75 cm

उदाहरण समाधान:
Perimeter = 4 × 15 = 60 cm
उत्तर: A) 60 cm

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Question 20

एक वृत्त की परिधि 62.8 cm है। (π = 3.14) उसकी त्रिज्या क्या होगी?
A) 10 cm
B) 20 cm
C) 5 cm
D) 15 cm

उदाहरण समाधान:
C = 2πr → r = C/(2π) = 62.8/(2 × 3.14) = 10 cm
उत्तर: A) 10 cm

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Question 21

एक आयत का क्षेत्रफल 200 cm² है। यदि एक भुजा 10 cm है, तो दूसरी भुजा क्या होगी?
A) 10 cm
B) 15 cm
C) 20 cm
D) 25 cm

उदाहरण समाधान:
Area = l × b → b = 200/10 = 20 cm
उत्तर: C) 20 cm

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Question 22

एक समद्विबाहु त्रिकोण जिसमें आधार 10 cm, ऊँचाई 8 cm है, उसका क्षेत्रफल क्या है?
A) 40 cm²
B) 80 cm²
C) 20 cm²
D) 50 cm²

उदाहरण समाधान:
Area = ½ × base × height = ½ × 10 × 8 = 40 cm²
उत्तर: A) 40 cm²

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Question 23

दो समांतर रेखाएँ X और Y हैं। रेखा Z, X के लिए 60° है और Y को 30° पर काटती है—Z रेखा X और Y के बीच कैसी होगी?
A) समानांतर
B) लम्बवत
C) कोणीय
D) असंबंधित

उदाहरण समाधान:
Z X से 60°, Y से 30° पर कटती है, इसलिए कोण अलग-अलग; यह कोणीय (Oblique) है।
उत्तर: C) कोणीय

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Question 24

एक वृत्ताकार क्षेत्रफल 50 π cm² है। त्रिज्या क्या है?
A) 5 cm
B) 10 cm
C) √50 cm
D) √25 cm

उदाहरण समाधान:
πr² = 50π → r² = 50 → r = √50 = 5√2 ≈ 7.07; नजदीक C) √50 cm
उत्तर: C) √50 cm

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Question 25

एक आयत जिसका क्षेत्रफल 120 cm² है और लंबाई चौड़ाई का दोगुना है। लंबाई और चौड़ाई क्या होंगी?
A) 20 cm और 10 cm
B) 15 cm और 7.5 cm
C) 12 cm और 6 cm
D) 24 cm और 12 cm

उदाहरण समाधान:
b = x → l = 2x → area = 2x² = 120 → x² = 60 → x ≈ 7.75—not matching. नजदीकी B) 7.5 & 15? area =112.5 नहीं। None exact.

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Question 26

एक त्रिभुज में दो कोण 45° और 45° हैं। तीसरा कोण क्या है?
A) 90°
B) 45°
C) 60°
D) 30°

उदाहरण समाधान:
Sum = 180° → तीसरा = 180 – 45 – 45 = 90°
उत्तर: A) 90°

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Question 27

एक वर्ग का क्षेत्रफल 256 cm² है। पक्ष की लंबाई क्या है?
A) 14 cm
B) 16 cm
C) 18 cm
D) 12 cm

उदाहरण समाधान:
side = √256 = 16 cm
उत्तर: B) 16 cm

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Question 28

एक वृत्त की त्रिज्या चार गुनी बढ़ा दी गई है। क्षेत्रफल में कितना गुणा वृद्धि होगी?
A) 4
B) 8
C) 16
D) 2

उदाहरण समाधान:
Area ∝ r² → (4r)² = 16r² → 16 गुणा
उत्तर: C) 16

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Question 29

एक आयत की लम्बाई = 3 cm, चौड़ाई = 4 cm। इसका क्षेत्रफल क्या है?
A) 7 cm²
B) 12 cm²
C) 14 cm²
D) 24 cm²

उदाहरण समाधान:
Area = 3 × 4 = 12 cm²
उत्तर: B) 12 cm²

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Question 30

एक त्रिभुज जिसमें भुजाएँ 3, 4 और 5 cm हैं। इसे क्या माना जा सकता है?
A) समद्विभुज त्रिभुज
B) समकोण त्रिभुज
C) सम-कोण त्रिभुज
D) नहीं पता

उदाहरण समाधान:
3² + 4² = 5² → 9 + 16 = 25 → समकोण त्रिभुज (Right triangle)
उत्तर: B) समकोण त्रिभुज